第三百七十二章 布置任务

第三百七十二章 布置任务 (第2/2页)

艾艾、哈尔克、苏菲他们一个个不由得面面相觑。
　　
　　艾艾粗略看了一下自己的那张白纸，皱眉道：“师傅，我的研究领域是酉表示中的狄拉克算子？”
　　
　　庞学林点了点头，笑道：“狄拉克算子是一个一阶微分算子，它是1928年由著名物理学家、诺贝尔奖获得者保罗·狄拉克作为拉普拉斯算子的平方根引入的。利用这一算子，狄拉克解释了电子的自旋并预言了正电子的存在，进而奠定了相对论量子力学的基础。目前，各种背景的狄拉克算子广泛应用于物理学的许多分支，并且被推广到微分流形，是数学中非常重要的研究对象”
　　
　　庞学林顿了顿，继续道：“由狄拉克算子导出的酉表示的狄拉克不等式也是研究酉表示分类的有力工具。对于连通实半单李群G，沃根利用泛包络代数和Clifford代数定义了一种完全代数化的狄拉克算子以及(g，K)模X的狄拉克上同调。李群表示的一个很重要的不变量是它的无穷小特征。沃根猜想若实半单李群G的不可约(g，K)模X具有非零的狄拉克上同调，则X的无穷小特征由其狄拉克上同调完全决定。这个猜想已经被黄进嵩和Pandzic证明。事实上，上面的结果可以推广到更一般的齐性空间G/H，对于Kostant定义的cubicDirac上同调也有类似结论。”
　　
　　“沃根关于狄拉克上同调的猜想，刻画了Dirac算子的一个深刻的代数性质，它进一步刻画了表示的无穷小特征，这为酉表示的研究提供了新的工具。例如，由此可导出更精细的狄拉克不等式，不可约酉表示的几何构造也可以简化。同时，狄拉克上同调又与李代数上同调密切相关，在很多情形中，狄拉克上同调可以简化李代数上同调的计算。目前，狄拉克上同调的应用日益广泛，甚至超出了半单李群表示的范围。”
　　
　　“我们知道，李群的每个余伴随轨道上都有不变辛结构，而轨道方法对于研究幂零李群的表示非常有效。另外，辛空间中的Weyl代数与上面狄拉克算子定义中用到内积空间的Cillford代数有很强的相似性。因此，在这一领域，我们可以提出以下几个问题，比如如果齐性空间G/H上存在不变辛结构，是否也能给出辛狄拉克算子的一个代数化的定义？是否可以利用辛狄拉克算子来构造实半单李群的酉表示？辛狄拉克算子与余伴随轨道是否有联系?目前在数学界，这些问题的研究还处于起步阶段，艾艾，未来两年内，我希望你能在这一领域有所成就。”
　　
　　艾艾苦着脸点了点头，上学期庞学林给他们布置作业的时候，她还感觉难度什么都可以接受，稍稍努把力，一学期时间还是能够解决的。
　　
　　没想到到了这学期，庞学林上来就给他们放了大招。
　　
　　她对狄拉克算子压根没多少研究，单单想搞明白这些问题，恐怕就得花费一周以上的时间，更不用说解决庞学林所说的这些问题了。
　　
　　不过还好，庞学林只要求他们通过研究这个问题写出一篇高水平的论文来，倒也没有强制要求解决这些问题。
　　
　　说完艾艾的任务，庞学林将目光转向哈尔克，微笑道：“哈尔克，Cherlin-Zilber猜想，你应该知道的吧？”
　　
　　哈尔克苦笑着点了点头，说道：“师傅，这个猜想是由和BorisZilber于30年前提出的有关无限单群分类的一个猜想：即一个Morley秩为有限的ω–稳定单群一定是某个代数封闭域上的一个代数群。这个猜想是模型论研究与代数群研究结合部的一个非常重要的问题。”
　　
　　庞学林满意地笑道：“很好，Cherlin-Zilber猜想提出30年来，数学界围绕这一猜想所展开的关于ω–稳定群的研究工作取得了非常突出的进展。这种研究不仅应用模型论的许多新的思想和方法，而且也用到来自有限群理论研究领域，特别是有关有限单群分类工作中的许多想法。有关这一猜想研究，我推荐你看一份由Borovik和Nesin合著的关于Cherlin-Zilber猜想的专著，我相信你一定会从这本书中找到有用的材料。另外，尽管这一猜想目前依然没有被解决，但与此相似的关于o–极小结构的Cherlin猜想已经被Peterzil，Pillay和Starchenko三人所证明，我建议你看一下他们的证明论文，说不定会有所启发。”
　　
　　哈尔克道：“师傅，我回去马上查这方面的资料。”
　　
　　最后，庞学林将目光转向了苏菲：“苏菲，长田猜想就交给你了。”
　　
　　苏菲抿着嘴，重重点了点头。
　　
　　艾艾好奇地凑到苏菲那边，看着她那张白纸上的文字，忍不住低声念了出来：“P1，…，Pn是C^2上处于一般位置的点，m1，…，mn是一组自然数。假如存在一条d次曲线C，对每个1≤i≤n，C在Pi点的重数都不小于mi，则d^2≥m1^2+……+mn^2。”
　　
　　“师傅，苏菲的这个命题也太简单了吧？”
　　
　　庞学林笑着说道：“你觉得简单吗？要不你和苏菲的换一换？”。
　　
　　艾艾连忙摆手，讪笑道：“不了不了，我觉得我的这个狄拉克算子也挺好的。”
　　
　　庞学林笑了笑道：“在代数几何中，平面代数曲线是最简单也是最具体的代数簇，然而在这个领域内还是有一些著名的难题没有解决，长田猜想就是其中之一。而且长田猜想是代数几何领域为数非常少的可以让大学生理解的问题，但难度却很大。历史上，这个猜想在解决希尔伯特第十四问中起到了非常关键的作用，在更深的代数几何前沿研究中，很多问题的解决同样依赖于长田猜想的解决。苏菲，我希望在你毕业之前，在这一领域的研究能够有所进展。”